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By Vijay V. Vazirani

ISBN-10: 228700677X

ISBN-13: 9782287006777

ISBN-10: 2287310207

ISBN-13: 9782287310201

Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie l. a. profondeur de l. a. th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. l. a. plupart des probl?mes issus d'applications appropriate de domaines aussi diff?rents que los angeles notion de circuits VLSI, los angeles perception et l. a. planification de r?seaux, l'ordonnancement, l. a. th?orie des jeux, l. a. biologie ou l. a. th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette state of affairs, un grand nombre d'algorithmes proposant des strategies approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? l. a. beaut? des r?sultats. Ce livre reveal ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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Example text

Vk distincts. ´ Etudions le graphe ayant pour sommets V et pour arˆetes B. R´eduisons chaque ensemble V1 , V2 , . . , Vk ` a un sommet unique. Le graphe r´eduit est connexe, ´ par connexit´e de T . Eliminons-en des arˆetes jusqu’`a obtenir un arbre, et notons B ⊆ B les arˆetes restantes : |B | = k − 1. Les arˆetes de B d´efinissent les k − 1 coupes recherch´ees. Maintenant, enracinons cet arbre en Vk et orientons les arˆetes vers la racine (rappelons que Ak est la coupe la plus lourde parmi les coupes Ai ).

C’est un graphe complet a` n sommets dont les arˆetes coˆ utent 1 ou 2. La figure cidessous repr´esente le graphe pour n = 6 (les arˆetes de coˆ ut 1 sont dessin´ees 34 Algorithmes d’approximation en gras, les autres coˆ utent 2). Pour un n quelconque, ce graphe a 2n−2 arˆetes de coˆ ut 1, formant l’union d’une ´etoile et d’un cycle de longueur n − 1 ; les autres arˆetes coˆ utent 2. Le TSP optimal coˆ ute n : r r ✑◗ ✑◗ ◗ ◗ ✑ ✁❆ ◗ ✑ ◗ ✑ ✁ ❆ ✑ r✑ r r ◗ ✑ ◗ € ✏ ✏r € ✏ ✏ ❧ ❇ €✁€✏ ❇ ✂ r ❆✏ r✏✏ ☎ ✓❙ ❉ ✂ ❇❧ ❇ ❧ ❙ ❉ ✂ ❜✟❙ ❙ ❇ ☎ ✓✟ ❇ ❜ ❜ ❇☎r✓ ✟ ❙r ❇r ❙❉r✂ Supposons que le MST trouv´e par l’algorithme soit l’´etoile couvrante constitu´ee d’arˆetes de coˆ ut unitaire.

Alors coˆ ut(M ) OPT /2. Preuve : Soit γ le cycle TSP optimal de G. Soit γ le cycle de V obtenu ` partir de γ en court-circuitant les sommets de V V . Par l’in´egalit´e tria angulaire, coˆ ut(γ ) coˆ ut(γ). Comme |V | est pair, τ est l’union de deux couplages parfaits de V . Par cons´equent, le moins cher de ces deux couplages a un coˆ ut coˆ ut(γ )/2 OPT/2. Le couplage de coˆ ut minimum coˆ ute donc moins que OPT/2. 10 est une 3/2-approximation pour le TSP m´etrique. Preuve : Les deux minorants de OPT impliquent que le coˆ ut du cycle eul´erien est major´e par : coˆ ut(T ) coˆ ut(T ) + coˆ ut(M ) 1 3 OPT + OPT = OPT 2 2 L’in´egalit´e triangulaire permet de conclure car coˆ ut(C) coˆ ut(T ).

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Algorithmes d’approximation by Vijay V. Vazirani


by Donald
4.3

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