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By Morris Tenenbaum

ISBN-10: 0486649407

ISBN-13: 9780486649405

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An / konvergent, so ist sie auch beschränkt. (ii) Majorantenkriterium für Folgen: Gilt jan eine Nullfolge, so folgt lim an D a. an bn / eine Nullfolge. Eine Ungleichung wie in (ii): jan aj bn mit bn ! 0 wird oft auch Fehlerabschätzung genannt. Die Umkehrung von (i) gilt nicht, wie man an der Folge cn D . 1/n sieht. Diese ist beschränkt, aber nicht konvergent. Die Aussage (i) dient hauptsächlich zur Erkennung der Divergenz. an / nicht beschränkt, so ist sie nicht konvergent. Beweis von I. Zu (i): Zu " ´ 1 wähle man N 2 N derart, dass für alle n > N gilt: jan Dann folgt für diese n jan j D jan Somit ist jan j a C aj jan aj < 1.

I) Ist B R nach oben beschränkt und ¿ ¤ A beschränkt und sup A sup B. B, so ist auch A nach oben (ii) Ist B R nach unten beschränkt und ¿ ¤ A beschränkt und inf A inf B. B, so ist auch A nach unten Beweis. Zu (i): Jede obere Schranke von B ist auch obere Schranke von A. Also ist A nach oben beschränkt. Insbesondere ist sup B obere Schranke von A, also sup A sup B. Zu (ii): „Spiegelbildlich“ schließt man: Jede untere Schranke von B ist auch untere Schranke von A. Also ist A nach unten beschränkt.

Konventionen Neue Mengen werden oft als Bildmengen gegebener Mengen konstruiert. In der Mengenlehre hat man dafür folgende Schreibweise: Ist eine Abbildung f W X ! x/ mit x 2 M ). Diese Symbolik wird nun auch dann angewendet, wenn das Funktionszeichen f nicht benannt ist, sondern nur die Funktionsvorschrift x 7! x/. So haben wir oben, wenn M eine Teilmenge von R ist, das Symbol M eingeführt als die Menge f x j x 2 M g; die Abbildungsvorschrift ist hierbei x 7! x. Im gleichen Sinne bezeichnet 2M die Menge f2x j x 2 M g; die Abbildungsvorschrift ist hierbei x 7!

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by Steven
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